====== Grundlagen der Aussagenlogik ======

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Eine **Aussage** bezeichnet ein sprachliches Gebilde, dem in sinnvoller Weise genau eine der beiden Eigenschaften **wahr** 
oder **falsch** zugeordnet werden kann. Man kürzt ab: wahr=1, falsch=0.
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In der **Aussagenlogik** oder **Schaltalgebra** verwenden wir 

  * **Variablen**, die meist mit $x_0,x_1,x_2...$ bezeichnet werden. Bei diesen Variablen handelt es sich um boolsche Werte, sie können also nur zwei Zuständen (0 - Falsch, 1 - Wahr) annehmen.
  * **Logische Funktionen** ordnen einer oder mehreren boolschen Variablen einen Funktionswert zu, sie werden oft mit $y$ bezeichnet. Der Funktionswert kann ebenfalls nur 1 (wahr) oder 0 (falsch) sein. Logische Funktionen lassen sich sehr gut als **Wahrheits**- oder **Wertetabellen** darstellen, da durch die beschränkte, diskrete Anzahl der Variablenkombinationen häufig eine Auflistung aller Funktionswerte möglich ist.
  * "Gerechnet" wird mit den logischen Verknüpfungen 
    * AND: ∧ 
    * OR: ∨
    * NOT: ¬
  * Beim Rechnen gelten - ähnlich wie die Punkt vor Strich Regeln: **"Klammer vor NOT vor AND vor OR"** 

<callout type="danger">

Die Verknüpfung mit **UND ∧** nennt man **Konjunktion**\\
Die Verknüpfung mit **ODER ∨** nennt man **Disjunktion**\\

</callout>

===== "Rechenregeln" der Schaltalgebra =====

=== Kommutativgesetz (Vertauschung erlaubt) ===

  * $x_0 \land x_1 = x_1 \land x_0$ 
  * $x_0 \lor x_1 = x_1 \lor x_0$ 

=== Distributivgesetz (Gießkannenregel) ===

  * $x_0 \land (x_1\lor x_2)= (x_0 \land x_1) \lor (x_0 \land x_2$)
  * $x_0 \lor (x_1\land x_2)= (x_0 \lor x_1) \land (x_0 \lor x_2$)

=== Neutralelement ===

  * $x_0 \lor 0 = x_0$
  * $x_0 \land 1 = x_0$

=== Komplement ===

  * $x_0 \land \lnot x_0 =0$
  * $x_0 \lor \lnot x_0 = 1$

=== Assoziativgesetze (Klammern dürfen bei gleichen Operatoren weggelassen/umgesetzt werden) ===

  * $(x_0 \land x_1) \land x_2 = x_0 \land x_1 \land x_2 = x_0 \land (x_1 \land x_2)$
  * $(x_0 \lor x_1) \lor x_2 = x_0 \lor x_1 \lor x_2 = x_0 \lor (x_1 \lor x_2)$

=== Idempotenzgesetze ===

  * $x_0 \land x_0 = x_0$
  * $x_0 \lor x_0 = x_0$

=== Absorptionsgesetze ===
 
  * $x_0 \lor (x_0\land x_1) = x_0$
  * $x_0 \land (x_0\lor x_1) = x_0$

=== De Morgan’sche Regel ("ausmultiplizieren des NICHT") ===

  * $\lnot(x_0 \lor x_1)= \lnot x_0 \land \lnot x_1$
  * $\lnot(x_0 \land x_1)= \lnot x_0 \lor \lnot x_1$

===== Beispiel =====

Gegeben ist die logische Funktion $f$ durch

$$f=(\lnot x_0 \land \lnot x_1 \land x_2) \lor (\lnot x_0 \land x_1 \land \lnot x_2) \lor (\lnot x_0 \land x_1 \land x_2) \lor ( x_0 \land \lnot x_1 \land x_2)$$

{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A1) ===

  * Wieviele Zeilen hat die Wahrheitstabelle dieser Funktion?
  * Schreibe die Wahrheitstabelle der Funktion auf((Das geht auch mit einem Tabellenverarbeitungsprogramm....)).

++++ Lösung |
{{:faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:grundlagen:auswahl_317.png?400|}}

++++

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Nun stellt sich die **Frage**, ob man den doch sehr langen Funktionsterm vielleicht unter Verwendung der Rechengesetze so **vereinfachen** kann, dass man einen kürzeren Term als Ergebnis erhält, der **dieselbe Wahrheitstabelle** hat, also **dieselbe logische Funktion** beschreibt. 

Wenn man die Wertetabelle der Beispielfunktion betrachtet, fällt auf: 

**(1)** Wenn $x_0=0$ und $x_1=1$ ist der Funktionswert 1, gleichgültig, was für einen Wert $x_2$ annimmt.

{{ auswahl_317a.png |}}

Das entspricht den beiden eingerahmten Termen:

{{ auswahl_346.png |}}

Rechnerisch kann man hier den Teilterm $(\lnot x_0 \land x_1)$ ausklammern, so dass der eingerahmte Term zu 
$$(\lnot x_0 \land x_1) \land (\lnot x_2 \lor x_2)$$

wird.

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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A2) ===

Vereinfache die folgenden logischen Terme:

  * $f = x_1\land(\lnot x_2) \lor x_1\land x_2$
  * $g = x_1\land (\lnot x_2)\land x_3 \lor x_1\land(\lnot x_2)\land(\lnot x_3) \lor (\lnot x_1)\land (\lnot x_2)\land (\lnot x_3) $
  * $h = (\lnot x_1)\land (\lnot x_2)\land(\lnot x_3) \lor (\lnot x_1)\land(\lnot x_2)\land x_3 \lor (\lnot x_1)\land x_2\land x_3 \lor x_1\land (\lnot x_2)\land (\lnot x_3) \lor  x_1\land x_2 \land x_3 \lor x_1 \land x_2\land ( \lnot x_3) $