Einführung in den Graphentester

Hat ein gegebener Graph einen Eulerkreis?

Um entscheiden zu können, ob ein gegebener Graph einen Eulerkreis besitzt oder nicht, müssen wir zwei Kriterien überprüfen:

Alle Knotengrade müssen gerade sein

Der Graph muss zusammenhängen

Die Froschperspektive

Bei Algorithmen, die auf Graphen operieren, müssen wir einen Perspektivwechsel vornehmen: Wir sehen einen Graphen aus der "Vogelperspektive", d.h. wir nehmen den gesamten Graphen mit all seinen Knoten und Kanten wahr und lassen dann nur unsere Augen wandern - wenn uns eine Information fehlt, schauen wir einfach an die entscheidende Stelle und das Problem ist gelöst.

Wenn wir einen Graphen algorithmisch verarbeiten wollen, müssen wir schrittweise durch die Knotenanordnung wandern - wir sehen niemals weiter als bis zum Ende der nächsten Kante. Wir müssen also die Frosch-Perspektive einnehmen.

Überprüfung des Knoten-Grades

Setze gradOK auf true
Für jeden Knoten k:
Wenn Grad(k) ungerade, setze gradOK auf false

Überprüfung des Zusammenhangs

Aus der Vogelperspektive ist das sofort klar - dieser Graph hängt nicht zusammen:

Der Frosch ist allerdings etwas ratlos:

(A1)

Finde eine algorithmische Vorgehensweise, wie der Frosch herausfinden kann, ob der Graph zusammenhängend ist. Um dieses Ziel zu errreichen, hat der Frosch die folgenden Werkzeuge und Fähigkeiten zur Verfügung.

Der Frosch kann…

Knoten / Kanten markieren

Bei Knoten eine Zahl eintragen

Knoten einfärben

Alle Knoten der Reihe nach durchgehen

Einen beliebigen Knoten als Startknoten wählen

Zum Nachbarknoten springen

Eine ToDo-Liste noch zu bearbeitender Knoten anlegen

Lade dir den Graphentester herunter und versuche im Experimentiermodus einen Algorithmus zu finden, der herausfindet, ob ein gegebener Graph zusammenhängend ist oder nicht.

Hilfestellung 1

Man startet bei einem beliebigen Knoten. Diesem gibt man die Nummer 1 und markiert ihn als fertig bearbeitet (Markieren & Besuchen).

Alle seine Nachbarknoten fügt man einer ToDo-Liste hinzu und kennzeichnet sie mit Besuchen, um auszudrücken, dass sie der ToDo-Liste schon hinzugefügt, aber noch nicht fertig bearbeitet ("besucht") sind.

Dann nimmt man den nächsten Knoten aus der ToDo-Liste, nummeriert ihn und markiert ihn als fertig bearbeitet. Alle seine nicht als besucht oder fertig bearbeitet gekennzeichneten Nachbarn fügt man der ToDo-Liste hinzu und kennzeichnet sie als besucht.

Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis die ToDo-Liste leer ist.

Entspricht die Nummer des zuletzt nummerierten Knotens der Anzahl der Knoten im Graph, ist der Graph zusammenhängend. Ist sie kleiner, hat man nicht alle Knoten erreicht und der Graph besteht aus mehreren Zusammenhangskomponenten.

Varianten: Beim Einfügen in die ToDo-Liste können neue Knoten entweder am Anfang der Liste oder am Ende der Liste eingefügt werden.

Hilfestellung 2

Der hier beschriebene Algorithmus bestimmt die Anzahl der vom Startknoten aus erreichbaren Knoten und vergleicht sie mit der Gesamtzahl der Knoten.

Zusammenhang des Graphen:
Markiere den Startknoten als besucht
Erzeuge eine leere ToDo-Liste und füge den Startknoten hinzu
Setze nr auf 0
Wiederhole solange die ToDo-Liste nicht leer ist
Erhöhe nr um 1
Nimm den ersten Knoten aus der ToDo-Liste heraus
Markiere ihn und gib ihm die Nummer nr
Wiederhole für jeden seiner Nachbarn
Falls der Nachbarknoten noch nicht besucht ist
Kennzeichne ihn als "besucht"
Füge ihn am Ende der ToDo-Liste hinzu
Ende-Falls
Ende-Wiederhole
Ende-Wiederhole
Falls nr = Anzahl der Knoten im Graph
Der Graph ist zusammenhängend
Sonst
Es gibt mehrere Zusammenhangskomponenten
Ende-Falls

Variante: Statt am Ende der ToDo-Liste können die Nachbarn auch am Anfang der ToDo-Liste eingefügt werden.

Programmieren im Graphentester

Dateien

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