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faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:start [06.12.2022 12:25] – [Modellierung] Frank Schiebel | faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:start [06.12.2022 12:36] – [Modellierung] Frank Schiebel | ||
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* Verwende dabei möglichst wenige Farben. | * Verwende dabei möglichst wenige Farben. | ||
* Ist es möglich, den Graphen mit k Farben zu färben? | * Ist es möglich, den Graphen mit k Farben zu färben? | ||
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+ | ==== Beschreibung eines Greedy-Algorithmus ===== | ||
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+ | Der hier beschriebene Algorithmus findet nicht die perfekte Lösung, d.h. die minimale Anzahl an Farben, aber eine gute Näherungslösung. Er arbeitet dabei nach dem Greedy-Verfahren, | ||
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+ | Zunächst wird eine Reihenfolge festgelegt, in der die Farben verwendet werden sollen. | ||
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+ | z.B. Rot - Blau - Grün - Gelb - Lila - Orange - Braun (es müssen ausreichend viele Farben sein) | ||
+ | {{: | ||
+ | Dann betrachtet man der Reihe nach alle Knoten. Für jeden Knoten wird dann Folgendes gemacht: Man schaut jeden der Nachbarknoten an und merkt sich, dass seine Farbe schon verwendet wurde. Dann wählt man aus der Liste der Farben die erste noch nicht benutzte Farbe aus und färbt den Knoten in dieser Farbe. | ||
+ | |||
+ | z.B. Der rot umrandete Knoten ist aktuell an der Reihe. Alle Nachbarknoten werden betrachtet und ihre Farben ermittelt. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Die erste noch nicht benutzte Farbe ist grün. Daher wird der Knoten grün gefärbt. | ||
===== Weiterführende Fragen & Aufgaben ===== | ===== Weiterführende Fragen & Aufgaben ===== | ||
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Für die Kolorierung von Graphen gelten folgende Sätze: | Für die Kolorierung von Graphen gelten folgende Sätze: | ||
* Graphen, die sich mit einer Farbe färben lassen, haben keine Kante außer Schleifen. | * Graphen, die sich mit einer Farbe färben lassen, haben keine Kante außer Schleifen. | ||
- | * Ein bipartiter Graph lässt sich mit zwei Farben färben. | + | * Ein bipartiter((https:// |
* Ein vollständiger Graph mit n Knoten benötigt n Farben. | * Ein vollständiger Graph mit n Knoten benötigt n Farben. | ||
- | * Ein Graph mit einer Clique aus m Knoten benötigt mindestens m Farben. | + | * Ein Graph mit einer Clique(([[https:// |
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- | ===== Algorithmus ===== | + | ---- |
+ | {{: | ||
+ | === (A2) === | ||
+ | Begründe die obigen Aussagen. | ||
- | ==== Beschreibung ==== | + | ++++ Lösung | |
+ | * Sobald eine Kante vorhanden ist, sind zwei Knoten verbunden. Wenn dies verschiedene Knoten sind (also keine Schleife), dann dürfen diese nicht die selbe Farbe haben und es werden mindestens zwei Farben benötigt. | ||
+ | * Wenn der Graph bipartit ist, dann zerfällt er in zwei Teilmenge der Knoten, die untereinander überhaupt nicht verbunden sind. Damit kann jede Teilmenge in einer einzigen Farbe eingefärbt werden. | ||
+ | * Bei einem vollständigen Graphen ist jeder Knoten mit allen anderen verbunden. Daher muss jeder Knoten eine eigene Farbe haben. | ||
+ | * In einer Clique sind alle Knoten untereinander verbunden. Daher muss jeder Knoten der Clique eine eigene Farbe bekommen. | ||
+ | ++++ | ||
- | Der hier beschriebene Algorithmus findet nicht die perfekte Lösung, d.h. die minimale Anzahl an Farben, aber eine gute Näherungslösung. Er arbeitet dabei nach dem Greedy-Verfahren, er wählt für ein Land die momentan am besten erscheinende Lösung. | + | ---- |
+ | {{:aufgabe.png? | ||
+ | === (A3) === | ||
- | Zunächst wird eine Reihenfolge | + | Beschreibe |
- | z.B. Rot - Blau - Grün - Gelb - Lila - Orange - Braun (es müssen ausreichend viele Farben sein) | + | ++++ Lösungsvorschlag | |
- | {{: | + | {{ : |
- | Dann betrachtet man der Reihe nach alle Knoten. | + | Werden die Knoten |
+ | ++++ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{:aufgabe.png? | ||
+ | === (A4) === | ||
+ | |||
+ | Landkarten lassen | ||
+ | |||
+ | ++++ Lösung | | ||
+ | Es gibt 4< | ||
+ | ++++ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | === (A5) === | ||
+ | |||
+ | Für das Kartenfärbeproblem ist kein Algorithmus bekannt, der eine optimale Lösung bestimmt, ohne dabei alle Möglichkeiten auszuprobieren. Begründe die Notwendigkeit eines Näherungsalgorithmus. | ||
+ | ===== Algorithmus ===== | ||
- | z.B. Der rot umrandete Knoten ist aktuell an der Reihe. Alle Nachbarknoten werden betrachtet und ihre Farben ermittelt. | ||
- | {{ : | ||
- | Die erste noch nicht benutzte Farbe ist grün. Daher wird der Knoten grün gefärbt. | ||
==== Pseudocode ==== | ==== Pseudocode ==== |