Unterschiede

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--- faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:start [06.12.2022 11:36] – [Modellierung] Frank Schiebel
+++ faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:start [27.09.2024 12:32] (aktuell) – Marco Kuemmel
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 === (A1) ===
-Färbe die Karte der Bundesländer nach der beschriebenen Regel.
+Färbe die Karte der Bundesländer nach der beschriebenen Regel.\\
+Auf [[https://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/4FP/pages/node3.htm|dieser Internetseite]] lässt sich die Deutschlandkarte auch online einfärben.
 {{ :faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:deutschland.png |}}((Bundesländer in Deutschland, Stefan-Xp via Wikimedia Commons (Lizenz: CC BY-SA 3.0): https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Germany_blank_map.svg))
 ===== Modellierung =====
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   * Ist es möglich, den Graphen mit k Farben zu färben?
-==== Beschreibung eines Greedy-Algorithmus =====
+===== Beschreibung eines Greedy-Algorithmus ======
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 Die erste noch nicht benutzte Farbe ist grün. Daher wird der Knoten grün gefärbt.
+----
+{{:aufgabe.png?nolink  |}}
+=== (A2) ===
+Teste das eben beschriebene Greedy-Verfahren an den Karten [[https://www.kippenbergs.de/de/mint-fourcolors|dieser Internetseite]].
 ===== Weiterführende Fragen & Aufgaben =====
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 {{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A2) ===
+=== (A3) ===
 Begründe die obigen Aussagen.
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 {{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A3) ===
+=== (A4) ===
 Beschreibe eine Situation (Landkarte incl. Reihenfolge der Länder), in der der Greedy-Algorithmus mehr als 4 Farben erfordert.
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 {{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A4) ===
+=== (A5) ===
-Landkarten lassen sich immer mit vier Farben einfärben. Bestimme die Anzahl der möglichen Färbungen (ohne Beachtung der Regel, dass Nachbarländer nicht die gleiche Farbe haben dürfen) einer Landkarte aus 20 Ländern mit 4 Farben.
+Landkarten lassen sich immer mit vier Farben einfärben((Die Wissenschaft hat lange nach einem Beweis für diese Aussage gesucht. 1852 wurde die Vermutung dieser Aussage aufgestellt. Bis heute gibt es keinen "einfachen", nachvollziehbaren Beweis. 1976 wurde die Aussage aber bewiesen, indem Computer zahlreiche knifflige Karten-Färbe-Probleme durchgerechnet haben.)). Bestimme die Anzahl der möglichen Färbungen (ohne Beachtung der Regel, dass Nachbarländer nicht die gleiche Farbe haben dürfen) einer Landkarte aus 20 Ländern mit 4 Farben.
 ++++ Lösung |
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 {{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A5) ===
+=== (A6) ===
 Für das Kartenfärbeproblem ist kein Algorithmus bekannt, der eine optimale Lösung bestimmt, ohne dabei alle Möglichkeiten auszuprobieren. Begründe die Notwendigkeit eines Näherungsalgorithmus.
-===== Algorithmus =====
+++++ Lösung |
+Die Anzahl der Möglichkeiten steigt mit der Anzahl der Knoten **exponentiell**. Damit wird der Zeitbedarf schon bei relativ wenigen Knoten zu groß. Ein Näherungsalgorithmus arbeitet mit polynomieller Zeitbedart, liefert dafür allerdings nicht die optimale Lösung.
+++++
+----
+{{:aufgabe.png?nolink  |}}
+=== (A7) ===
+Erläutere, durch welche besondere Eigenschaft ein Graph, der eine Landkarte repräsentiert, die Beschränkung auf 4 Farben ermöglicht.
+++++ Lösung |
+Der Graph eine Landkarte ist planar((https://de.wikipedia.org/wiki/Planarer_Graph)). Durch die besondere Situation kann es keine nicht auflösbaren Kreuzungen der Kanten geben, da dies bedeuten würde, dass zwei verschiedene Ländergrenzen über Kreuz liegen.
+++++
+----
+{{:aufgabe.png?nolink  |}}
+=== (A8) ===
+**(A)** Eine Variante des Kartefärberoblems ist das **Kolonialproblem**: Einige Länder haben Kolonien, die nicht direkt mit dem Mutterland verbunden sind. Dabei sollen das Mutterland und seine Kolonien in der gleichen Farbe eingefärbt werden. Weiterhin soll gelten, dass benachbarte Länder bzw. Kolonien nicht in der gleichen Farbe eingefärbt werden dürfen. Es ist nicht bekannt, ob es eine Obergrenze der Anzahl der benötigten Farben gibt.
+++++ Tipp: |
+Stell dir folgende Situation vor:
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:kolonien_tipp.png?600 |}}
+  * Können die Mutterländer mit 4 Farben gefärbt werden?
+  * Wie könnten eine Aufteilung der Insel aussehen, die zu Problemen führen kann?
+++++
+++++ Lösung |
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:kolonien_lsg.png?600 |}}
+E kann nicht die Farbe von A,B oder D haben, da dies bei den Mutterländern nicht zulässig ist. Die Farbe von C ist auch nicht zulässig, da dies bei den Kolonien nicht erlaubt ist. Keines dieser vier Länder kann die gleiche Farbe haben, da sie oder ihre Kolonien untereinander benachbart sind. Daher wird eine 5. Farbe benötigt.
+++++
+**(B) Modellierung **
+  * Überführe die Karte in den dazugehörigen Graphen. Erläutere, wie Du die Forderung modellierst, dass das Mutterland und seine Kolonien in der gleichen Farbe gefärbt werden sollen.
+  * Begründe anhand des Graphen, warum die Obergrenze von vier Farben für eine Landkarte nicht mehr gilt.
+++++ Tipp |
+Die Mutterländer und ihre Kolonien werden durch einen einzigen Knoten repräsentiert.
+++++
+++++ Lösung |
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:kartenfaerben:kolonie_graph.png |}}
+Der Graph ist nicht mehr planar, also reichen 4 Farben nicht mehr aus.
+++++
+----
+{{:aufgabe.png?nolink  |}}
+=== (A9) ===
+Notiere den beschriebenen Algorithmus als Pseudocode und implementiere ihn selbst im Graphentester. Hinweise und Lösungsvorschläge findest du unten.
+===== Algorithmus: Pseudocode & Implementation =====