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| faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:start [31.03.2022 14:42] – [Aus Einweg mach Falltür] sbel | faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:start [03.02.2025 09:35] (aktuell) – Frank Schiebel |
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| ====== Das RSA Verfahren ====== | ====== Das RSA Verfahren ====== |
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| Um die Funktionsweise des RSA Verfahrens nachzuvollziehen, musst du dir Klartext, Geheimtext und Schlüssel nicht als Bit-Folgen wie bei AES, sondern einfach als natürliche Zahlen vorstellen. Für den Computer macht das sowieso keinen Unterschied, da dieser alle Daten als Bit-Folge abspeichert udn verarbeitet. | Um die Funktionsweise des RSA Verfahrens nachzuvollziehen, musst du dir Klartext, Geheimtext und Schlüssel nicht als Bit-Folgen wie bei AES, sondern einfach als natürliche Zahlen vorstellen. Für den Computer macht das sowieso keinen Unterschied, da dieser alle Daten als Bit-Folge abspeichert und verarbeitet. |
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| ===== Einwegfunktionen und Falltürfunktionen ===== | ===== Einwegfunktionen und Falltürfunktionen ===== |
| Im vorigen Wiki-Abschnitt haben wir uns mit der Modulo-Rechnung beschäftigt - diese ist in der Kryptografie wichtig, da einge der Modulo-Rechenarten sind sehr** einfach durchgeführt** werden können, ihre **Umkehrung** oft aber sehr ziemlich **aufwändig** ist. | Im vorigen Wiki-Abschnitt haben wir uns mit der Modulo-Rechnung beschäftigt - diese ist in der Kryptografie wichtig, da einige der Modulo-Rechenarten sehr** einfach durchgeführt** werden können, ihre **Umkehrung** oft aber extrem **aufwändig** ist. |
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| So kann man die **einfache Rechnung als Verschlüsselung** und die **komplizierte Umkehrung als Entschlüsselung** verwenden -- allerding nur dann, wenn es bei der komplizierten Umkehrung eine "versteckte Abkürzung" gibt, die man als **Schlüssel** nehmen kann. | So kann man die **einfache Rechnung als Verschlüsselung** und die **komplizierte Umkehrung als Entschlüsselung** verwenden -- allerdings nur dann, wenn es bei der komplizierten Umkehrung eine "versteckte Abkürzung" gibt, die man als **Schlüssel** nutzen kann. |
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| <WRAP center round tip 90%> | <WRAP center round tip 90%> |
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| Des RSA Verfahren basiert darauf, aus der Einwegfunktion "Primzahlmultiplikation" durch geeignete Wahl der beteiligten Zahlen eine Falltürfunktion zu machen, so dass man bei Kenntnis gewisser Informationen (Schlüssel), eine Faktorisierung einfach bestimmen kann. | Des RSA Verfahren basiert darauf, eine passende Falltürfunktion zu finden, die bei geeignet Wahl der beteiligten Zahlen eine Information als Schlüssel liefert, mit der sie umgekehrt werden kann. |
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| Dazu benötigt man die Modulo-Rechnung aus einem der vorigen Wiki-Abschnitte: | Dazu benötigt man die Modulo-Rechnung aus einem der vorigen Wiki-Abschnitte: |
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| * Die a-te Wurzel der Zahl b modulo n lässt sich leicht berechnen, wenn man φ(n) kennt FIXME Link | {{:faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:message.png |}} |
| * φ(n) kann man leicht berechnen, wenn es sich bei n um das Produkt zweier Primzahlen p und q handelt. Dann gilt φ(n)=(p-1)·(q-1) FIXME Link | * Die e-te Wurzel der Zahl c modulo n lässt sich leicht berechnen, wenn man φ(n) kennt und Hochzahl $e$ und φ(n) teilerfremd sind. ([[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]]) |
| | * φ(n) kann man leicht berechnen, wenn es sich bei n um das Produkt zweier Primzahlen p und q handelt. Dann gilt φ(n)=(p-1)·(q-1) ([[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]]) |
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| | <WRAP center round info 90%> |
| | Nach heutigem Kenntnisstand gibt es außer der im Abschnitt [[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]] beschriebenen Methode unter Zuhilfenahme von φ(n) keine effektive Methode, die Modulo-Wurzel zu bestimmen. Damit ist das Modulo-Potenzieren eine Falltürfunktion - die Information, die sie umkehrbar macht sind die beiden Primzahlfaktoren aus denen der Modulus n berechnet werden kann. Da die Primzahlmultiplikation eine Einwegfunktion ist, kann man diese Faktoren nachträglich aus n bei genügend großen Primzahlen nicht mehr bestimmen. |
| | </WRAP> |
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| | {{ :faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:rsa.drawio.png?900 |}} |
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| | ===== Ablauf des RSA Verfahrens ===== |
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| | Alice möchte, dass Bob ihr eine mit RSA verschlüsselte Mitteilung senden kann. |
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| | * Alice muss zunächst vorarbeiten: Sie wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q und berechnet daraus den Modulus n=p·q. |
| | * Anschließend wählt sie eine natürliche Zahl e, die teilerfremd zu φ(n) ist. Zur Erinnerung φ(n)=(p-1)·(q-1)). Die Zahlen **n und e bilden zusammen den öffentlichen Schlüssel**, den Alice öffentlich bekannt macht, also auch an Bob weitergibt. wenn ein Angreifer (Mallory) den schlüssel in die Hände bekommt ist das kein Problem. |
| | * Alice berechnet $d=e^{-1}(mod\; φ(n))$. d ist der geheime Schlüssel, den sie natürlich für sich behalten muss. |
| | * Nachdem Bob Alices öffentlichen Schlüssel hat (e,n), kann er damit seine Nachricht m, die er als Zahl betrachtet verschlüsseln. Dazu berechnet er $c=m^e mod\; n$. $c$ ist der Geheimtext, den er dann an Alice sendet. Die Verschlüsselung entspricht einer Modulo-Exponentiation. |
| | * Die verschlüsselte Nachricht $c$ kann Alice entschlüsseln, indem sie $c^d (mod\; n)$ berechnet. Das Ergebnis ist der Klartext m, den Bob abgeschickt hat. Das Entschlüsseln entspricht einem Modulo-Wurzelziehen: Alice zieht die e-te Modulo-Wurzel von c, indem sie die d-te Potenz berechnet. Mallory kann d nicht ermitteln, weil er die Faktorisierung von n und damit φ(n) nicht kennt. |
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| | Für die teilerfremde Zahl e kann man ein Primzahl wählen, z.B. 3, 17 oder 65537. |