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--- faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:start [31.03.2022 16:23] – [Primzahl-Multiplikation als Einwegfunktion] sbel
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 ===== Primzahl-Multiplikation als Einwegfunktion =====
+Die (normale) Multiplikation zweier Primzahlen ist eine Einwegfunktion. Eine Primzahl-Multiplikation ist heutzutage mit Computerunterstützung einfach durchführbar, auch bei großen Zahlen macht das keine Probleme.
+Im Gegensatz dazu sind keine effizienten Verfahren bekannt, mit denen aus dem Produkt zweier großer Primzahlen die beiden Faktoren bestimmt werden können.
+----
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+=== (A1) ===
+  * Berechne im Kopf 13·17
+  * Bestimme die beiden Primzahlen, die miteinander multipliziert 1189 ergeben (auch im Kopf...)
+Je größer die beiden Primzahlen sind, desto komplexer ist dieses sogenannte **Faktorisierungsproblem**: "Finde die beiden Primzahlen, die miteinander multipliziert die Zahl X ergeben". Bei Zahlen über tausend Bit Länge ist dieses Problem auch von aktuellen Superrechnern nicht mehr lösbar.
+<WRAP center round info 90%>
+Die **Multiplikation zweier großer Primzahlen ist eine Einwegfunktion**. Es ist **einfach, das Produkt zu berechnen**, aber sehr **schwierig/unlösbar**, zu einer großen Zahl **die beiden Prim-Faktoren zu bestimmen**, die miteinander multipliziert diese Zahl ergeben.
+</WRAP>
+Anmerkungen:
+  * Es lässt sich mathematisch nicht beweisen, dass dass die Primzahl-Multiplikation eine Einwegfunktion ist, es spricht jedoch alles dafür.
+  * Ein zentrales Problem dieser Einwegfunktion ist die Erzeugung großer Primzahlen. Das wird meist mit dem [[wpde>Miller-Rabin-Test]] gelöst, dessen Betrachtung hier aber zu weit führen würde.
+===== Aus Einweg mach Falltür =====
+Des RSA Verfahren basiert darauf, eine passende Falltürfunktion zu finden, die bei geeignet Wahl der beteiligten Zahlen eine Information als Schlüssel liefert, mit der sie umgekehrt werden kann.
+Dazu benötigt man die Modulo-Rechnung aus einem der vorigen Wiki-Abschnitte:
+  * Die a-te Wurzel der Zahl b modulo n lässt sich leicht berechnen, wenn man φ(n) kennt und $a$ und $φ(n)$ teilerfremd sind.  ([[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]])
+  * φ(n) kann man leicht berechnen, wenn es sich bei n um das Produkt zweier Primzahlen p und q handelt. Dann gilt φ(n)=(p-1)·(q-1) ([[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]])
+<WRAP center round info 90%>
+Nach heutigem Kenntnisstand gibt es außer der im Abschnitt [[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]] beschriebenen Methode unter Zuhilfenahme von $φ(n)$ keine effektive Methode, die Modulo-Wuzel zu bestimmen. Damit ist das Modulo-Potenzieren eine Falltürfunktion - die Information, die sie umkehrbar macht sind die beiden Primzahlfaktoren aus denen der Modulus n berechnet werden kann. Da die Primzahlmultiplikation eine Einwegfunktion ist, kann man diese Faktoren nachträglich aus n bei genügend großen Primzahlen nicht mehr bestimmen.
+</WRAP>
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+===== Ablauf des RSA Verfahrens =====
+Alice möchte, dass Bob ihr eine mit RSA verschlüsselte Mitteilung senden kann.
+  * Alice muss zunächst vorarbeiten: Sie wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q und berechnet daraus den Modulus n=p·q.
+  * Anschließend wählt sie eine natürliche Zahl e, die teilerfremd zu φ(n) ist. Zur Erinnerung φ(n)=(p-1)·(q-1)). Die Zahlen **n und e bilden zusammen den öffentlichen Schlüssel**, den Alice öffentlich bekannt macht, also auch an Bob weitergibt. wenn ein Angreifer (Mallory) den schlüssel in die Hände bekommt ist das kein Problem.
+  * Alice berechnet $d=e^{-1}(mod\; φ(n))$. d ist der geheime Schlüssel, den sie natürlich für sich behalten muss.
+  * Nachdem Bob Alices öffentlichen Schlüssel hat (e,n), kann er damit seine Nachricht m, die er als Zahl betrachtet verschlüsseln. Dazu berechnet er $c=m^e mod\; n$. $c$ ist der Geheimtext, den er dann an Alice sendet. Die Verschlüsselung entspricht einer Modulo-Exponentiation.
+  * Die verschlüsselte  Nachricht $c$ kann Alice entschlüsseln, indem sie $c^d (mod\; n)$ berechnet. Das Ergebnis ist der Klartext m, den Bob abgeschickt hat. Das Entschlüsseln entspricht einem Modulo-Wurzelziehen: Alice zieht die e-te Modulo-Wurzel von c, indem sie die d-te Potenz berechnet. Mallory kann d nicht ermitteln, weil er die Faktorisierung von n und damit φ(n) nicht kennt.
+Für die teilerfremde Zahl e kann man ein Primzahl wählen, z.B. 3, 17 oder 65537.