faecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:festkomma:start []

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====== Festkommazahlen ======

Wir haben nun eine Darstellung für natürliche und -- mit dem Zweierkomplement -- eine für ganze Zahlen im Binärsystem gefunden. Offen ist die Frage wie man **Brüche/Kommazahlen** im Binärsystem darstellen kann? 

Eine erste Möglichkeit, bei der alle bisherigen Rechenregeln erhalten bleiben, stellt die Darstellung als Festkommazahl dar. Der größte Vorteil bei dieser Darstellung ist, dass dieselbe ALU((Aritmetic-Logic-Unit, siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisch-logische_Einheit))  des Rechners, die die ganzzahligen Berechnungen durchführt auch mit dieser Darstellung umgehen kann, man benötigt im Prozessor also kein neues Rechenwerk für diese Art der Kommazahlen.

===== Wie funktionierts? =====

<WRAP center round tip 90%>
Bei der Festkommadarstellung wird im Vorfeld definiert, an welcher Stelle sich das Komma befindet, bzw. wie viele Vorkomma- und wie viele Nachkommastellen die Zahl beinhaltet. Das wird mit der Bezeichnung **Q<n>** angegeben: 

  * Q1: Eine Nachkommastelle
  * Q2: zwei Nachkommstellen
  * Q3: drei Nachkommastellen
  * Q4: Vier Nachkommastellen
  * Q5: ...
</WRAP>


Die Wertigkeit hinter der Kommastelle wird entsprechend der 2er-Potenzen fortgeführt.

{{ :faecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:festkomma:auswahl_272.png?700 |}}

Bei fester Bitlänge der gesamten Zahl wird also mit wachsender Anzahl der Nachkommastellen der Wertebereich vor dem Komma kleiner.

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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A1) ===

  * Bestimme die dezimalen Werte aller Nachkommastellen bei Q4.  
  * Welche Einschränkung ergibt sich daraus für Zahlen, die in Q2 dargestellt werden können? 
  * Kann man die Zahl 8,3 in Q3 darstellen?
  * Kannst du eine Regel formulieren, welche Zahlen man in der Festkommadarstellung darstellen kann? Denke daran, dass alle endlichen Dezimalzahlen als Bruch geschrieben werden können.

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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A2) ===

Rechne die Zahlen im Binärsystem Q4 angegebenen Zahlen ins Dezimalsystem um - oder andersrum:

  * 10101100b = ?? d
  * 00010001b = ?? d
  * 6,375d = ?? b
  * 9,9375d = ?? b

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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A3) ===

  * Bestimme den Zahlbereich, der sich mit 8 Bit in Q4 darstellen lässt.
  * Welche Differenz haben in dieser Darstellung zwei nebeneinander liegende Zahlen? Wie kann man diese "Genauigkeit" allgemein berechnen?
  * Erläutere, warum man 0,1d nur näherungsweise als Festkommazahl darstellen kann.

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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A4) ===

Berechne die Summe (binär) zweier Q4-Zahlen und kontrolliere das Ergebnis, indem du alle  Werte ins Dezimalsystem umrechnest.

(i) 
<code>
00111100b
01000101b
</code>

(ii)
<code>
00011000b
00001000b
</code>

----
{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A5) ===

  * Berechne mit schriftlicher Multiplikation das Produkt der beiden Q4-Zahlen. Vergleiche dein Ergebnis mit den Dezimalzahlen: ''00001000b∙00010000b ='' 
  * Warum liefert die schriftliche Multiplikation ein falsches Ergebnis? Wie muss man dieses korrigieren?

==== Material ====
 

{{simplefilelist>.:*}}