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faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 17:02] – Frank Schiebel | faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 19:50] – Frank Schiebel | ||
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===== Schiffsverbindungen ===== | ===== Schiffsverbindungen ===== | ||
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+ | ==== Ausgangssituation ==== | ||
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+ | {{: | ||
+ | === (A1) === | ||
+ | |||
+ | |||
{{ : | {{ : | ||
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Die Regionalregierung eines Archipels hat eine Fähre angeschafft, | Die Regionalregierung eines Archipels hat eine Fähre angeschafft, | ||
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+ | * Entscheide, ob es eine derartige Rundtour gibt. Gib die Rundtour gegebenenfalls an. | ||
+ | * Entscheide, ob es möglich ist, eine einzige Strecke zu fahren, bei der jede Route genau einmal bedient wird. Gib an, von welchen Häfen aus dies möglich ist. | ||
+ | * Kannst du angeben, unter welchen Voraussetzungen es eine Rundtour (Starthafen = Zielhafen) gibt, die alle Routen genau einmal abfährt? | ||
+ | |||
+ | ++++ Lösungen | | ||
+ | * Nein, eine solche Rundtour gibt es nicht. | ||
+ | * Ja, es ist möglich, eine Strecke zu fahren, bei der jede Verbindung genau ein mal bedient wird, und zwar von Ulahi und Aruna aus. | ||
+ | * Jeder Hafen muss eine gerade Anzahl von Fährrouten haben und alle Fährrouten müssen untereinander verbunden sein. Entferne z.B. die Verbindung Aruna-Ulahi, | ||
+ | ++++ | ||
+ | |||
+ | ==== Modellierung ==== | ||
+ | |||
+ | Um derartige Fragestellungen in informatischen System modellieren zu können, müssen wir | ||
+ | uns nun ein paar Gedanken machen. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | === (A2) === | ||
+ | |||
+ | Welche der folgenden Informationen wichtig für die Suche nach Rundtouren sind: | ||
+ | * Name der Inseln | ||
+ | * Größe der Inseln | ||
+ | * Entfernung zwischen den Häfen | ||
+ | * Welche Inseln sind mit Fährrouten verbunden? | ||
+ | * genauer Verlauf der Fahrtroute | ||
+ | |||
+ | ++++ Lösung| | ||
+ | Man muss lediglich wissen, welche Häfen es gibt, und welcher Hafen mit welchem anderen verbunden ist. | ||
+ | ++++ | ||
+ | |||
+ | Zur Modellierung kommt also ein Modell zum Einsatz, welches die **Häfen** und die **Verbindungen zwischen den Häfen** umfassen muss. Allgemeiner kann man davon sprechen, dass man **Knoten** modellieren möchte, deren Verbindungen mit Hilfe von **Kanten** dargestellt werden. | ||
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+ | Für unser Archipel sieht das so aus: | ||
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+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Die Anordnung der Elemente auf der Zeichenfläche spielt dabei überhaupt keine Rolle, solange die Kanten und ihre Verbindungen gleich bleiben, modellieren wir dasselbe Archipel: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Definition: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Ein **Graph** ist ein Gebilde, das aus **Knoten** und **Kanten** besteht. Jede Kante verbindet zwei Knoten oder einen Knoten mit sich selbst. Von einem Knoten können eine, mehrere oder keine Kanten ausgehen. | ||
+ | |||
+ | Formal ist ein Graph also ein 2-Tupel, das aus einer Knotenmenge und einer Kantenmenge besteht und man schreibt: | ||
+ | |||
+ | Graph '' | ||
+ | </ | ||
+ | {{ graph.drawio.png? | ||
+ | |||
+ | Die Buchstaben sind aus den englischen Begriffen abgeleitet: V ist die Menge von Knoten (Vertices) und E die Menge der Kanten | ||
+ | |||
+ | Das Bild rechts veranschaulicht die Begriffe, man erkennt dort auch, wie man die Kanten darstellen kann, indem man die verbundenen Knoten in runden Klammern | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | === (A3) === | ||
+ | Zeichne den folgenden Graphen: '' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Weitere Begriffe ===== | ||
+ | |||
+ | ==== Knotengrad ==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Jeder Knoten hat die Eigenschaft " | ||
+ | |||
+ | Der Grad eines Knotens entspricht der Anzahl der Kantenenden, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | **Beispiele: | ||
+ | {{ : | ||
+ | < | ||
+ | grad(C) = 2 | ||
+ | grad(A) = 3 | ||
+ | grad(4) = 3 | ||
+ | grad(1) = 4 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ===== Wege in Graphen ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{tag> def:graph}} |