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faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 17:35] – [Modellierung] Frank Schiebel | faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 21:29] – [Geschlossener Eulerzug] Frank Schiebel | ||
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Für unser Archipel sieht das so aus: | Für unser Archipel sieht das so aus: | ||
- | {{ : | + | {{ : |
+ | |||
Die Anordnung der Elemente auf der Zeichenfläche spielt dabei überhaupt keine Rolle, solange die Kanten und ihre Verbindungen gleich bleiben, modellieren wir dasselbe Archipel: | Die Anordnung der Elemente auf der Zeichenfläche spielt dabei überhaupt keine Rolle, solange die Kanten und ihre Verbindungen gleich bleiben, modellieren wir dasselbe Archipel: | ||
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- | ===== Was ist ein Graph? ===== | + | ===== Definition: |
- | {{ : | + | |
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Ein **Graph** ist ein Gebilde, das aus **Knoten** und **Kanten** besteht. Jede Kante verbindet zwei Knoten oder einen Knoten mit sich selbst. Von einem Knoten können eine, mehrere oder keine Kanten ausgehen. | ||
+ | |||
+ | Formal | ||
+ | |||
+ | Graph '' | ||
+ | </ | ||
+ | {{ graph.drawio.png?400|}} | ||
+ | |||
+ | Die Buchstaben sind aus den englischen Begriffen abgeleitet: V ist die Menge von Knoten (Vertices) und E die Menge der Kanten | ||
+ | |||
+ | Das Bild rechts veranschaulicht die Begriffe, man erkennt dort auch, wie man die Kanten darstellen kann, indem man die verbundenen Knoten in runden Klammern | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | === (A3) === | ||
+ | Zeichne den folgenden Graphen: '' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Weitere Begriffe ===== | ||
+ | |||
+ | ==== Knotengrad ==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Jeder Knoten hat die Eigenschaft " | ||
+ | |||
+ | Der Grad eines Knotens entspricht der Anzahl der Kantenenden, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | **Beispiele: | ||
+ | {{ : | ||
+ | < | ||
+ | grad(C) = 2 | ||
+ | grad(A) = 3 | ||
+ | grad(4) = 3 | ||
+ | grad(1) = 4 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ==== Wege in Graphen ==== | ||
+ | |||
+ | * Mit dem Begriff **<color # | ||
+ | * Mit dem Begriff **<color # | ||
+ | * Startet ein Kantenzug oder Weg am selben Knoten wie er endet, **sind** also **Start- und Endknoten identisch**, | ||
+ | * Ein **geschlossener Kantenzug** heißt **<color # | ||
+ | * Ein geschlossener Weg heißt **<color # | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Zusammenhang ==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Wenn es in einem Graphen von jedem Knoten zu einem anderen einen Weg gibt, heißt der Graph **zusammenhängend**. | ||
+ | |||
+ | Einen zusammenhängenden Teilgraphen nennt man **Zusammenhangskomponente**. | ||
+ | |||
+ | Zusammenhängende, | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ==== Eulerzug ==== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 50%> | ||
+ | Ein Kantenzug, in dem jede Kante genau einmal vorkommt, heißt **Eulerzug**. | ||
+ | |||
+ | In einem gegebenen Graph gibt es einen Eulerzug wenn | ||
+ | * Der Graph zusammenhängend ist **und** | ||
+ | * **Entweder: | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Geschlossener Eulerzug ==== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 50%> | ||
+ | Ein **geschlossener Eulerzug** ist ein Zyklus, in dem jede Kante genau ein mal vorkommt. | ||
+ | |||
+ | Ein Graph besitzt einen geschlossenen Eulerzug, wenn | ||
+ | * Der Graph zusammenhängend ist **und** | ||
+ | * Alle Knoten geraden Grad haben | ||
+ | |||
+ | </ | ||
- | Ein Graph ist ein Gebilde, das aus Knoten und Kanten besteht. Jede Kante verbindet zwei Knoten oder einen Knoten mit sich selbst. Von einem Knoten können eine, mehrere oder keine Kanten ausgehen. | ||
- | Formal schreibt man: | ||
- | < | ||
+ | {{tag> def:graph}} |