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faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 17:35] – Frank Schiebel | faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [08.03.2024 12:17] – [Modellierung] Marco Kuemmel | ||
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* Entscheide, ob es eine derartige Rundtour gibt. Gib die Rundtour gegebenenfalls an. | * Entscheide, ob es eine derartige Rundtour gibt. Gib die Rundtour gegebenenfalls an. | ||
- | * Entscheide, ob es möglich ist, eine einzige Strecke zu fahren, bei der jede Route genau einmal bedient wird. Gib an, von welchen Häfen aus dies möglich ist. | + | * Entscheide, ob es möglich ist, eine einzige Strecke |
* Kannst du angeben, unter welchen Voraussetzungen es eine Rundtour (Starthafen = Zielhafen) gibt, die alle Routen genau einmal abfährt? | * Kannst du angeben, unter welchen Voraussetzungen es eine Rundtour (Starthafen = Zielhafen) gibt, die alle Routen genau einmal abfährt? | ||
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==== Modellierung ==== | ==== Modellierung ==== | ||
- | Um derartige Fragestellungen in informatischen | + | Um derartige Fragestellungen in informatischen |
uns nun ein paar Gedanken machen. | uns nun ein paar Gedanken machen. | ||
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=== (A2) === | === (A2) === | ||
- | Welche der folgenden Informationen wichtig für die Suche nach Rundtouren | + | Welche der folgenden Informationen |
* Name der Inseln | * Name der Inseln | ||
* Größe der Inseln | * Größe der Inseln | ||
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Für unser Archipel sieht das so aus: | Für unser Archipel sieht das so aus: | ||
- | {{ : | + | {{ : |
+ | |||
Die Anordnung der Elemente auf der Zeichenfläche spielt dabei überhaupt keine Rolle, solange die Kanten und ihre Verbindungen gleich bleiben, modellieren wir dasselbe Archipel: | Die Anordnung der Elemente auf der Zeichenfläche spielt dabei überhaupt keine Rolle, solange die Kanten und ihre Verbindungen gleich bleiben, modellieren wir dasselbe Archipel: | ||
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- | ===== Definition: | + | ===== Definition: |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Ein **Graph** ist ein Gebilde, das aus **Knoten** und **Kanten** besteht. Jede Kante verbindet zwei Knoten oder einen Knoten mit sich selbst. Von einem Knoten können eine, mehrere oder keine Kanten ausgehen. | ||
+ | |||
+ | Formal ist ein Graph also ein 2-Tupel, das aus einer Knotenmenge und einer Kantenmenge besteht und man schreibt: | ||
+ | |||
+ | Graph '' | ||
+ | </ | ||
+ | {{ graph.drawio.png?400|}} | ||
+ | |||
+ | Die Buchstaben sind aus den englischen Begriffen abgeleitet: V ist die Menge von Knoten (Vertices) und E die Menge der Kanten | ||
+ | |||
+ | Das Bild rechts veranschaulicht die Begriffe, man erkennt dort auch, wie man die Kanten darstellen kann, indem man die verbundenen Knoten in runden Klammern | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | === (A3) === | ||
+ | Zeichne den folgenden Graphen: '' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Weitere Begriffe ===== | ||
+ | |||
+ | ==== Knotengrad ==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Jeder Knoten hat die Eigenschaft " | ||
+ | |||
+ | Der Grad eines Knotens entspricht der Anzahl der Kantenenden, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | **Beispiele: | ||
+ | {{ : | ||
+ | < | ||
+ | grad(C) = 2 | ||
+ | grad(A) = 3 | ||
+ | grad(4) = 3 | ||
+ | grad(1) = 4 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ==== Wege in Graphen ==== | ||
+ | |||
+ | * Mit dem Begriff **<color # | ||
+ | * Mit dem Begriff **<color # | ||
+ | * Startet ein Kantenzug oder Weg am selben Knoten wie er endet, **sind** also **Start- und Endknoten identisch**, | ||
+ | * Ein **geschlossener Kantenzug** heißt **<color # | ||
+ | * Ein geschlossener Weg heißt **<color # | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Zusammenhang ==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Wenn es in einem Graphen von jedem Knoten zu einem anderen einen Weg gibt, heißt der Graph **zusammenhängend**. | ||
+ | |||
+ | Einen zusammenhängenden Teilgraphen nennt man **Zusammenhangskomponente**. | ||
+ | |||
+ | Zusammenhängende, | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ==== Eulerzug ==== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 50%> | ||
+ | Ein Kantenzug, in dem jede Kante genau einmal vorkommt, heißt **Eulerzug**. | ||
+ | |||
+ | In einem gegebenen Graph gibt es einen Eulerzug wenn | ||
+ | * Der Graph zusammenhängend ist **und** | ||
+ | * **Entweder: | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Geschlossener Eulerzug ==== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 50%> | ||
+ | Ein **geschlossener Eulerzug** ist ein Zyklus, in dem jede Kante genau ein mal vorkommt. | ||
+ | |||
+ | Ein Graph besitzt einen geschlossenen Eulerzug, wenn | ||
+ | * Der Graph zusammenhängend ist **und** | ||
+ | * Alle Knoten geraden Grad haben | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Weiterführende Fragen ===== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Ein **<color # | ||
+ | anderen. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | === (A4) === | ||
+ | |||
+ | * Zeichne einen vollständigen Graphen mit drei und einen mit vier Knoten. | ||
+ | * Entscheide, ob die Graphen mit drei, vier oder fünf Knoten einen geschlossenen Euler-Zug haben.vollständiger Graph | ||
+ | * Gib eine allgemeine Regel an, wann ein vollständiger Graph einen geschlossenen Eulerzug hat. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Für viele Anwendungen verwendet man **<color # | ||
+ | Kanten haben eine Richtung (z.B. bei einem Stadtplan mit Einbahnstraßen). Bei einem Euler-Zug darf man die Kanten dann nur in der vorgegebenen Richtung durchlaufen. | ||
+ | |||
+ | Jeder Knoten hat dann einen **Ausgangsgrad** (wie viele Kanten gehen von einem Knoten aus) und einen **Eingangsgrad** (wie viele Kanten führen zu einem Knoten hin). | ||
+ | {{ : | ||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | === (A5) === | ||
+ | |||
+ | * Entscheide, ob der abgebildete Graph einen geschlossenen Euler-Zug hat. | ||
+ | * Gib eine allgemeine Regel an, wann ein gerichteter Graph einen geschlossenen Euler-Zug hat. | ||
- | {{ : | + | ===== Dateien ===== |
- | Ein Graph ist ein Gebilde, das aus Knoten und Kanten besteht. Jede Kante verbindet zwei Knoten oder einen Knoten mit sich selbst. Von einem Knoten können eine, mehrere oder keine Kanten ausgehen. | ||
- | Formal schreibt man: | ||
- | < | ||
+ | {{simplefilelist>: | ||
+ | {{tag> def:graph}} |