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faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 20:03] – [Wege in Graphen] Frank Schiebel | faecher:informatik:oberstufe:graphen:zpg:einfuehrung:start [09.11.2022 21:39] – [Weiterführende Fragen] Frank Schiebel | ||
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==== Wege in Graphen ==== | ==== Wege in Graphen ==== | ||
- | Wenn man sich über Wege in Graphen | + | * Mit dem Begriff **<color # |
+ | * Mit dem Begriff **<color # | ||
+ | * Startet ein Kantenzug oder Weg am selben Knoten wie er endet, **sind** also **Start- und Endknoten identisch**, | ||
+ | * Ein **geschlossener Kantenzug** heißt **<color # | ||
+ | * Ein geschlossener Weg heißt **<color # | ||
- | * Mit dem Begriff **Kantenzug** bezeichnen wir einen Pfad durch den Graphen, bei dem Knoten/ | ||
- | * Mit dem Begriff **Weg** bezeichnen wir einen Pfad durch den Graphen, bei dem jeder Knoten/jede Kante höchstens ein Mal durchlaufen werden darf. | ||
- | * Startet Kantenzug oder Weg am selben Knoten wie er endet, **sind** also **Start- und Endknoten identisch**, | ||
+ | ==== Zusammenhang ==== | ||
+ | <WRAP center round important 90%> | ||
+ | Wenn es in einem Graphen von jedem Knoten zu einem anderen einen Weg gibt, heißt der Graph **zusammenhängend**. | ||
+ | Einen zusammenhängenden Teilgraphen nennt man **Zusammenhangskomponente**. | ||
+ | |||
+ | Zusammenhängende, | ||
+ | </ | ||
+ | {{ : | ||
+ | ==== Eulerzug ==== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | <WRAP center round important 50%> | ||
+ | Ein Kantenzug, in dem jede Kante genau einmal vorkommt, heißt **Eulerzug**. | ||
+ | |||
+ | In einem gegebenen Graph gibt es einen Eulerzug wenn | ||
+ | * Der Graph zusammenhängend ist **und** | ||
+ | * **Entweder: | ||
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+ | </ | ||
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+ | |||
+ | ==== Geschlossener Eulerzug ==== | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
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+ | <WRAP center round important 50%> | ||
+ | Ein **geschlossener Eulerzug** ist ein Zyklus, in dem jede Kante genau ein mal vorkommt. | ||
+ | |||
+ | Ein Graph besitzt einen geschlossenen Eulerzug, wenn | ||
+ | * Der Graph zusammenhängend ist **und** | ||
+ | * Alle Knoten geraden Grad haben | ||
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+ | </ | ||
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+ | |||
+ | ===== Weiterführende Fragen ===== | ||
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+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Ein **<color # | ||
+ | anderen. | ||
+ | |||
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+ | {{: | ||
+ | === (A4) === | ||
+ | |||
+ | * Zeichne einen vollständigen Graphen mit drei und einen mit vier Knoten. | ||
+ | * Entscheide, ob die Graphen mit drei, vier oder fünf Knoten einen geschlossenen Euler-Zug haben.vollständiger Graph | ||
+ | * Gib eine allgemeine Regel an, wann ein vollständiger Graph einen geschlossenen Eulerzug hat. | ||
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+ | Für viele Anwendungen verwendet man **<color # | ||
+ | Kanten haben eine Richtung (z.B. bei einem Stadtplan mit Einbahnstraßen). Bei einem Euler-Zug darf man die Kanten dann nur in der vorgegebenen Richtung durchlaufen. | ||
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+ | Jeder Knoten hat dann einen **Ausgangsgrad** (wie viele Kanten gehen von einem Knoten aus) und einen **Eingangsgrad** (wie viele Kanten führen zu einem Knoten hin). | ||
+ | {{ : | ||
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+ | {{: | ||
+ | === (A5) === | ||
{{tag> def:graph}} | {{tag> def:graph}} |