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====== Normalformen ======

===== Disjunktive Normalform =====

Die **disjunktive Normalform** bietet ein Verfahren, mit dem man systematisch einen Logik-Term zu einer Wahrheitstabelle finden kann, bei dem der entstehende Term eine Disjunktion von Konjunktionstermen ist -- also eine Oder-Verknüpfung von Und-Verknüpfungen.

**Vorgehen**:

<callout type="info" > 
Zu jeder Zeile der Wahrheitstafel, bei der das Ergebnis 1 ist, bildet man einen **Minterm**. Dies ist ein Term, in dem alle Eingangsvariablen mit der **Und-Verknüpfung** verbunden werden. Hat eine Variable den Wert 0, steht sie negiert im Minterm.

Die **disjunktive** Normalform erhält man, indem man alle Minterme durch **Oder**-Verknüpfungen verbindet. 
</callout>

**Beispiel:**

{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:normalformen:disj_nf.drawio.png |}}

  * Für jede Zeile, die "wahr" ist, bildet man den Minterm mit "und". Alle "falsch" Werte werden dabei einfach negiert.
  * Alle so gefundenen Zeilen verknüpft man mit "oder"

Die disjunktive Normalform für die Wahrheitstafel im Beispiel ist also $(\lnot x_1 \land \lnot x_2) \lor (x_1 \land \lnot x_2)$.

===== Konjunktive Normalform =====

Die **konjunktive Normalform** bietet ein Verfahren, mit dem man systematisch einen Logik-Term zu einer Wahrheitstabelle finden kann, bei dem der entstehende Term eine Konjunktion von Disjunktionstermen ist -- also eine Und-Verknüpfung von Oder-Verknüpfungen.

**Vorgehen**:

<callout type="warning" > 
Zu jeder Zeile der Wahrheitstafel, bei der das Ergebnis 0 ist, bildet man einen **Maxterm**. Dies ist ein Term, in dem alle n Eingangsvariablen mit der **Oder-Verknüpfung** verbunden werden, alle "wahr"-Werte werden dabei negiert.

Die **konjunktive** Normalform erhält man, indem man alle Maxterme durch **Und**-Verknüpfungen verbindet. 
</callout>

**Beispiel:**

{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:normalformen:knf.drawio.png |}}

  * Für jede Zeile, die "falsch" ist, bildet man den Maxterm mit "oder". Alle "wahr" Werte werden dabei einfach negiert.
  * Alle so gefundenen Zeilen verknüpft man mit "und"

Eine konjunktive Normalform für die Wahrheitstafel im Beispiel ist also $(x_1 \lor \lnot x_2) \land (\lnot x_1 \lor \lnot x_2)$. 

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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A1) ===

Stelle zum Term $(\lnot(x_1 \lor x_2) \lor x_3)$ die Wahrheitstafel auf und ermittle daraus die DNF und eine KNF. Versuche dann DNF und KNF durch Umformungen des Terms zu erhalten - welche Rechenregeln verwendest du dabei?

++++ Lösungshinweis 1 - Wahrheitstabelle |
{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:normalformen:2024-09-26_07-57.png |}}
++++
++++ Lösungshinweis 1 - DNF | 
{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:normalformen:unbenannt-2024-09-26-0758.png |}}
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{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A2) ===

Gesucht ist eine boolesche Funktion mit drei Variablen E1, E2 und E3, deren Ausgang A genau dann den Wert TRUE annimmt, wenn die Dualzahl[E3 E2 E1]<sub>2</sub> eine Primzahl ist. 

  * Ermittle die DNF der Funktion. 
  * Vereinfache die DNF der Funktion so weit wie möglich. 
  * Erstelle die KNF der Funktion.
  * Vereinfache die KNF der Funktion so weit wie möglich. 
  * Überprüfe ob die beiden vereinfachten Terme aus DNF und KNF zum gleichen Resultat führen.

++++ Lösungsvorschlag für KNF/DNF | 
{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:normalformen:primzahlen_lsg01.png |}}
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