faecher:informatik:oberstufe:techinf:logikschaltungen:digitaltechnik:logikfunktionenfinden:start []

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====== Logische Funktionen finden ======

Häufig ist die Funktion als Wertetabelle gegeben, zum Beispiel((x sind die Eingänge, y die Ausgänge))

{{ .:wt.png |}}

Ausführlich übersetzt lautet die so definierte logische Funktion von links nach rechts gelesen also:

  * Wenn x1 = 0 und x2 = 0, dann ist y = 1.
  * Wenn x1 = 0 und x2 = 1, dann ist y = 1.
  * Wenn x1 = 1 und x2 = 0, dann ist y = 0.
  * Wenn x1 = 1 und x2 = 1, dann ist y = 1.

<WRAP center round important 90%>
Wie realisiert man diese Funktion mit den elementaren AND, OR und NOT-Gattern?
</WRAP>

Man kann die Wertetabelle auch von recht nach links lesen:

  * **y=1** wenn x1=0 und x2=0 
  * **y=1** wenn x1=0 und x2=1
  * y=0 wenn x1=0 und x2=0
  * **y=1** wenn x1=1 und x2=1

Wenn man jetzt die Fälle zusammenfasst, in denen y=1 ist, erhält man: 

**y=1** wenn...
  * ... x1=0 und x2=0 ODER
  * ... x1=0 und x2=1 ODER
  * ... x1=1 und x2=1

{{ .:example.drawio.png |}}

Nun muss man also nur noch für die drei Teilbedingungen die entsprechenden Schaltungen finden und diese mit OR verknüpfen.

**y=1** wenn...
  * ... (¬X1) ∧ (¬X2)
  * ... (¬X1) ∧ X2
  * ... X1 ∧ X2

Das kann man ziemlich direkt als Schaltung eintragen:

{{ auswahl_302.png |}}


==== Schnellanleitung ====

<WRAP center round tip 90%>
  * Suche alle Zeilen, in denen der Ausgabewert 1 ist
  * Bilde für jede dieser Zeilen AND-Terme aus allen Eingabewerten (x-Werten). 
    * An Stellen, an denen x<sub>i</sub>=1 ist, bleibt die Variable x<sub>i</sub> im Term unverändert
    * An Stellen, an denen x<sub>i</sub>=0 ist, muss die Variable x<sub>i</sub> mit NOT negiert werden
  * Verknüpfe die AND-Terme aller Zeilen mit OR
</WRAP>
(Hinweis: Das entspricht dem Finden der [[faecher:informatik:oberstufe:techinf:formale_logik:normalformen:start#disjunktive_normalform|disjunktiven Normalform]])

===== Übungen =====

{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A1) ===

Finde den Ausdruck für die Logikfunktion und entwerfe die Schaltung im Simulator. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Wertetabelle.

^  x0  ^  x1  ^  y  ^
|  1   |  1   |  0  |
|  1   |  0   |  0  |
|  0   |  0   |  1  |
|  0   |  1   |  1  |

----
{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A2) ===
Vervollständige die untenstehende Tabelle gemäß der Beschreibung. Realisiere jede Funktion y<sub>i</sub> anschließende als Schaltung im Simulator

  * y0 ist genau dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind
  * y1 ist genau dann 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist
  * y2 ist genau dann 1, wenn alle Eingänge 0 sind
  * y3 ist genau dann 1, wenn mindestens ein Eingang 0 ist
  * y4 ist genau dann 1, wenn x0=1 und x1=x2=0 ist
  * y5 ist genau dann 1, wenn x0=1 und mindestens einer der beiden Eingänge x1 und x2 1 ist.
  * y6 ist genau dann 1, wenn x0=1 und genau einer der beiden Eingänge x1 und x2 1 ist.
  * y7 ist genau dann 1, wenn die Anzahl der mit 1 belegten Eingänge ungerade ist
  * y8 ist genau dann 1, wenn mindestens zwei Eingänge 1 sind
  * y9 ist genau dann 1, wenn x0=x1=x2=0 oder  x0=x1=x2=1

Finde für y10 und y11 verbale Beschreibungen:

  * y10 ist ...
  * y11 ist ...

{{ .:tabelle.png?600 |}}
++++
Lösungen Tabelle |
{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:logikschaltungen:digitaltechnik:logikfunktionenfinden:lsg_a2.png?400 |}}

++++

++++ Vorlage für die Schaltungen |  
{{  :faecher:informatik:oberstufe:techinf:logikschaltungen:digitaltechnik:logikfunktionenfinden:2024-09-29_18-24.png?200 |}}
Man erstellt die drei Eingänge und jeweils die Negierung. Jetzt hat man X1-X1 und "nicht" X1 bis "nicht" X3 direkt zur Verfügung und kann die Ausdrücke als Schaltung bauen.

{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:logikschaltungen:digitaltechnik:logikfunktionenfinden:aufgabe2_template.dig.zip |}}

++++

----
{{:aufgabe.png?nolink  |}}
=== (A3) ===

Gegeben sind die Wertetabellen der logischen Funktion f und g:

{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:logikschaltungen:digitaltechnik:logikfunktionenfinden:lf3.png?400 |}}

Finde die Ausdrücke für die Logikfunktionen und entwerfe Schaltungen im Simulator. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Wertetabelle.

++++ Lösung f |
f = (¬x<sub>1</sub>) ∧ (¬x<sub>2</sub>) ∧ x<sub>3</sub> ∨ 
(¬x<sub>1</sub>) ∧ x<sub>2</sub> ∧ (¬x<sub>3</sub>) ∨
(¬x<sub>1</sub>) ∧ x<sub>2</sub> ∧ x<sub>3</sub> ∨ 
x<sub>1</sub> ∧ (¬x<sub>2</sub>) ∧ x<sub>3</sub>

{{ auswahl_303.png?600 |}}


++++

++++ Lösung g |
g = (¬x<sub>1</sub>) ∧ x<sub>2</sub> ∧ x<sub>3</sub> ∨ 
x<sub>1</sub> ∧ (¬x<sub>2</sub>) ∧ (¬x<sub>3</sub>) ∨
x<sub>1</sub> ∧ x<sub>2</sub> ∧ (¬x<sub>3</sub>)

{{ auswahl_305.png?600 |}}

++++